Lời giải bài 6 chuyên đề Ứng dụng nghiệm phương trình bậc hai

1 lượt xem

Bài 6: Cho $\triangle ABC$ .Chứng minh rằng :

a. $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .

b. $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ .

c. $\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq \frac{9}{4}$ .

Bài làm:

a. $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .

<=> $8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq 1$ .

Xét $T=8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}$ .

<=> $T=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2})$ .

<=> $T=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{C}{2})$ .

=> $4\sin ^{2}\frac{C}{2}-4\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+T=0$ . (1)

Phương trình (1) có nghiệm <=> $\Delta {}' \geq 0$

<=> $4\cos ^{2}\frac{A-B}{2}-4T\geq 0$

=> $T\leq \cos ^{2}\frac{A-B}{2}\leq 1$

=> $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ . (đpcm)

b. Đặt X = $\cos A+\cos B+\cos C$

<=> $X=2\cos \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+1-2\sin ^{2}\frac{C}{2}$

=> $2\sin ^{2}\frac{C}{2}-2\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+X-1=0$ (2)

Phương trình (2) có nghiệm <=>

<=>

=> . (đpcm)

c. Đặt V =

<=>

=> (3)

Phương trình (3) có nghiệm <=>

<=>

<=> .

=> . (đpcm)

- - - - - Hết ! - - - -

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm