Đáp án câu 5 đề 8 kiểm tra học kì 2 Toán 9

Câu 5(1 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

K = $\frac{a^{2}}{c(c^{2}+a^{2})} + \frac{b^{2}}{a(a^{2}+b^{2})} + \frac{c^{2}}{b(b^{2}+c^{2})}$

Bài làm:

Xét: $\frac{a^{2}}{c(c^{2}+a^{2})} = \frac{a^{2} + c^{2} - c^{2}}{c(c^{2}+a^{2})} = \frac{1}{c} - \frac{c}{(c^{2}+a^{2})} \geq \frac{1}{c} - \frac{c}{2\sqrt{c^{2}a^{2}}} = \frac{1}{c} - \frac{1}{2a}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{c(c^{2}+a^{2})}\geq \frac{1}{c} - \frac{1}{2a}$

Tương tự ta có:

$\frac{b^{2}}{a(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{1}{a} - \frac{1}{2b}$

$\frac{c^{2}}{b(b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{b} - \frac{1}{2c}$

Do đó:

K $\geq \frac{1}{c} - \frac{1}{2a} + \frac{1}{a} - \frac{1}{2b} + \frac{1}{b} - \frac{1}{2c}$

$\Leftrightarrow K \geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right ) = \frac{ab + bc + ca}{2abc} = \frac{3}{2}$ ( do ab + bc + ca = 3abc)

Vậy Min K = $\frac{3}{2}$ khi a = b = c = 1.

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm

Đáp án câu 5 đề 8 kiểm tra học kì 2 Toán 9

Xem thêm bài viết khác

Tài liệu hay

Toán Học

Soạn Văn

Tiếng Anh

Vật Lý

Hóa Học

Sinh Học

Lịch Sử

Địa Lý

GDCD

Khoa Học Tự Nhiên

Khoa Học Xã Hội