Giải câu 3 trang 83 sách toán VNEN lớp 8 tập 2

Câu 3: Trang 83 sách VNEN 8 tập 2

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (h,60). Chứng minh:

a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng có trong hình và giải thích.

b) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Hướng dẫn câu b):

- Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.

- Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.

Bài làm:

a) * KCB và HBC có $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân), $\widehat{BKC}$ = $\widehat{BHC}$, BC chung nên KCB = HBC

BK = HC AK = AH

* AKH và ABC có góc A chung, $\frac{AK}{AB}$ = $\frac{AH}{AC}$ nên AKH $\sim $ ABC

* Gọi giao điểm của BH và CK là O

Vì = $\frac{AH}{AC}$ nên KH // BC

OKH và OCB có $\widehat{OKH}$ = $\widehat{OCB}$, $\widehat{OHK}$ = $\widehat{OBC}$ (so le trong) nên OKH $\sim $ OCB.

b) Vẽ đường cao AI

IAC và HBC có góc C chung, $\widehat{AIC}$ = $\widehat{BHC}$ nên IAC $\sim $ HBC

$\frac{HC}{IC}$ = $\frac{BC}{AC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{HC}{\frac{a}{2}}$ = $\frac{a}{b}$ $\Leftrightarrow $ HC = $\frac{a^{2}}{2b}$ AH = AC - HC = b - $\frac{a^{2}}{2b}$ = $\frac{2b^{2}- a^{2}}{2b}$.

Theo câu a) AKH $\sim $ ABC nên

= $\frac{AH}{AC}$ $\Rightarrow $ HK = $\frac{AH.BC}{AC}$ = $\frac{\frac{2b^{2}- a^{2}}{2b}.a}{b}$ = $\frac{(2b^{2}- a^{2}).a}{2b^{2}}$ = a - $\frac{a^{3}}{2b^{2}}$