Giải câu 1 trang 84 sách toán VNEN lớp 8 tập 2

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 84 sách VNEN 8 tập 2

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng AD.AC = AE.AB và = $\widehat{ADE}$.

b) Chứng minh rằng HED và HBC đồng dạng.

c) Chứng minh rằng BE.BA + CD.CA = .

d) Nếu ABC đều hãy tính tỉ số diện tích HED và diện tích ABC.

Bài làm:

a) * ADB và AEC có góc A chung, $\widehat{ADB}$ = $\widehat{AEC}$ nên ADB $\sim $ AEC

$\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$ $\Leftrightarrow $ AD.AC = AE.AB.

* ADE và ABC có góc A chung, $\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$ nên ADE $\sim $ ABC.

$\widehat{ABC}$ = $\widehat{ADE}$.

b)

Ta có: + $\widehat{ADE}$ = $90^{\circ}$

+ $\widehat{ABC}$ = $90^{\circ}$

Mặt khác = $\widehat{ABC}$ (theo câu a) $\Rightarrow $ $\widehat{HDE}$ = $\widehat{HCB}$ (1)

Tương tự ta được = $\widehat{HBC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra HED $\sim $ HBC

c) Dựng HK vuông góc với BC

Ta có: BKH $\sim $ BDC nên $\frac{BK}{BD}$ = $\frac{BH}{BC}$ $\Leftrightarrow $ BK.BC = BH.BD

CKH $\sim $ CEB nên $\frac{CK}{CE}$ = $\frac{CH}{BC}$ $\Leftrightarrow $ CK.BC = CH.CE

BK.BC + CK.BC = BH.BD + CH.CE $\Leftrightarrow $ BC.(BK + CK) = BH.BD + CH.CE $\Leftrightarrow $ $BC^{2}$ = BH.BD + CH.CE

Ta có: BEH $\sim $ BDA nên: $\frac{BE}{BD}$ = $\frac{BH}{BA}$ $\Leftrightarrow $ BH.BD = BE.BA

Tương tự ta được CH.CE = CD.CA

Suy ra = BE.BA + CD.CA.

d)