Giải câu 2 trang 34 sách toán VNEN lớp 8 tập 2

2. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai cặp số (a; b) và (x; y):

$\leq $ ($a^{2}$ + $b^{2}$)($x^{2}$ + $y^{2}$);

Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi ay = bx, hay = $\frac{y}{b}$ (khi ab $\neq $ 0).

Bất đẳng thức này mang tên nhà toán học người Nga Bu-nhi-a-cốp-xki (Viktor Bunyakovsky, 1804 - 1889).

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 2( + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$ ;

b) + $b^{4}$ $\geq $ 2, biết rằng a + b = 2.

Bài làm:

a) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1 ; 1) và (a; b)ta có:

( + )($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(1.a + 1.b)^{2}$ = $(a + b)^{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a = b.

Vậy 2( + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$

b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1; 1) và (; $b^{2}$) ta có:

( + )($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ $(1.a^{2} + 1.b^{2})^{2}$ = $(a^{2} + b^{2})^{2}$

Theo câu a: 2( + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$ $\Leftrightarrow $ + $b^{2}$ $\geq $ $\frac{(a + b)^{2}}{2}$

2($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ $\frac{(a + b)^{4}}{4}$ = $\frac{2^{4}}{4}$ = 4

($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ 2.