Giải câu 5 trang 125 toán VNEN 8 tập 1

Câu 5: Trang 125 toán VNEN 8 tập 1

Cho tam giác đều ABC cạnh a và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Gọi H, K, T tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng: MH + MK + MT = .

Bài làm:

Từ A kẻ đường thẳng AD. Vì ABC là tam giác đều nên AD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC BD = $\frac{BC}{2}$.

Theo định lí Pi-ta-go, ta có: AD = = $\sqrt{a^{2} – (\frac{a}{2})^{2}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Khi đó: S = $\frac{AD.BC}{2}$ = $\frac{a.a\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ (1).

Mặt khác, ta có: S = S$_{MAB}$ + S$_{MAC}$ + S$_{MBC}$ = $\frac{MT.AB}{2}$ + $\frac{MK.AC}{2}$ + $\frac{MH.BC}{2}$

S$_{ABC}$ = $\frac{a.(MK + MT + MH)}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) $\frac{a.(MK + MT + MH)}{2}$ = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ hay MH + MK + MT = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đpcm).