Giải Câu 10 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Câu 10: Trang 114 - SGK Hình học 11

Cho hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \( ABCD\).

a) Tính độ dài đoạn thẳng .

b) Gọi là trung điểm của đoạn \(SC\). Chứng minh hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((SAC)\) vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài đoạn và tính góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\).

Bài làm:

a) là hình vuông cạnh $a$

=> tam giác ABC vuông tại B

=>

• Lại có là tâm hình vuông $ABCD(gt)$ nên là trung điểm của $AC$

=>

• Hình chóp tứ giác đều nên . Do đó \(SO\bot AC\)

Xét tam giác vuông tại \(O\): có (định lý Pitago)

=>

b) (tính chất hình vuông) (1)

Vì (2)

Từ (1)(2) và suy ra: ,

Mà do đó \((MBD) ⊥ (SAC)(đpcm)\).

c) và $\Delta SCB$ có:

chung

=>

=> (trung tuyến tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)

suy ra suy ra tam giác \(BDM\) cân tại \(M\)

=> vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(OM\bot BD\)

Ta có:

\(\left. \matrix{
(MBD) \cap (ABCD) = BD \hfill \cr
OM \bot BD \hfill \cr
OC \bot BD \hfill \cr} \right\} \)

góc giữa hai mặt phẳng và \((ABCD)\) là \(\widehat {MOC}\)

Trong vuông tại O có $OM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $SC$

suy ra: hay Tam giác \(OMC\) vuông cân tại \(M\)

suy ra: