Giải Câu 7 Bài Ôn tập cuối năm

Câu 7: Trang 126 - SGK Hình học 11

Cho hình thang vuông tại $A$ và $B$, có $AD=2a,AB=BC=a$. Trên tia $Ax$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ lấy một điểm $S$. Gọi $C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SC$ và $SD$ . Chứng minh rằng :

a)

b) và $AB$ cùng nằm trên một mặt phẳng.

c) Chứng minh rằng đường thẳng luôn luôn đi qua một điểm cố định khi $S$ di động trên tia Ax.

Bài làm:

a) Chứng minh

Ta có: $\begin{array}{c}SA\mathrm{\perp }\left(ABC\mathrm{D}\right)\hfill \\ AB\mathrm{\perp }BC\hfill \end{array}\}\Rightarrow SB\mathrm{\perp }BC$ (định lí 3 đường vuông góc)

Gọi là trung điểm của $AD$.

là hình vuông nên $CK=a\Rightarrow CK=\frac{1}{2}A\mathrm{D}$

Tam giác ACD có trung tuyến CK bằng cạnh tương ứng nên ACD là tam giác vuông tại C

=> AC CD

$\begin{array}{c}SA\mathrm{\perp }\left(ABC\mathrm{D}\right)\hfill \\ AC\mathrm{\perp }C\mathrm{D}\hfill \end{array}\}\Rightarrow SC\mathrm{\perp }C\mathrm{D}$ (định lí 3 đường vuông góc)

b) Ta có :

$\begin{array}{c}AB\mathrm{\perp }SA\hfill \\ AB\mathrm{\perp }A\mathrm{D}\hfill \end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}AB\mathrm{\perp }\left(SA\mathrm{D}\right)\hfill \\ S\mathrm{D}\subset \left(SA\mathrm{D}\right)\hfill \end{array}\}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }S\mathrm{D}(1)$

$\begin{array}{c}C\mathrm{D}\mathrm{\perp }AC\hfill \\ C\mathrm{D}\mathrm{\perp }SC\hfill \end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}C\mathrm{D}\mathrm{\perp }\left(SAC\right)\hfill \\ A{C}^{\prime }\subset \left(SAC\right)\hfill \end{array}\}\Rightarrow A{C}^{\prime }\mathrm{\perp }C\mathrm{D}$

Kết hợp với AC’ SC suy ra AC' (SCD)

Vậy

$\begin{array}{c}A{C}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(SC\mathrm{D}\right)\hfill \\ S\mathrm{D}\subset \left(SC\mathrm{D}\right)\hfill \end{array}\}\Rightarrow A{C}^{\prime }\mathrm{\perp }S\mathrm{D}(2)$

Giả thiết cho AD’ SD (3)

Từ (1), (2), (3) ta thấy ba đường thẳng AB, AD’, AC’ cùng vuông góc với SC. Vậy chúng cùng nằm trong mặt phẳng ( P) đi qua A và vuông góc với SC.

c) Gọi I là giao điểm của C’D’ với AB.

⇒ I là giao điểm của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến CD. Như vậy ba đường thẳng AB, CD, C’D’ đồng quy tại I và AB, CD cố định suy ra I cố đinh.

Khi S chạy trên Ax thì C’D’ luôn đi qua điểm cố định là giao điểm I của AB và CD