Giải Câu 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

1 Đánh giá

Câu 11: Trang 114 - SGK Hình học 11

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $A B C D$ là một hình thoi tâm $I$ cạnh $a$ và có góc $A$ bằng $60^{0},$ cạnh $S C = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ và $S C$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ .

a) Chứng minh mặt phẳng $(SBD)$ vuông góc với mặt phẳng $(S A C)$ .

b) Trong tam giác $SCA$ kẻ $I K$ vuông góc với $SA$ tại $K$ . Hãy tính độ dài $IK$

c) Chứng minh $\widehat{BKD}=90^{0}$ và từ đó suy ra mặt phẳng $(S A B)$ vuông góc với mặt phẳng $(S A D)$ .

Bài làm:

Giải Câu 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

a) $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ suy ra $S C ⊥ B D$ (1)

$ABCD$ là hình thoi nên $A C ⊥ B D$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BD ⊥ (SAC)$

$BD\subset (SBD)\Rightarrow (SBD) ⊥ (SAC)$ .

b) Xét tam giác vuông $ABI$ có: $cos\widehat{IAB}=\frac{AI}{AB}=>AI=AB.cos\widehat{IAB}=AB.\frac{1}{2}.\widehat{IAB}$

=> $AI=AB.\cos 30^0={{a\sqrt 3 } \over 2}\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt 3$

Xét tam giác vuông $SAC$ có: $S A = \sqrt{A C^{2} + S C^{2}} = \sqrt{3 a^{2} + \frac{6 a^{2}}{4}} = \frac{3 a}{\sqrt{2}} .$

Hai tam giác vuông $SCA$ và $I K A$ có:

$\widehat{A} chung$ , $\hat{C} = \hat{K} = 90^{0}$

=> $\Delta SCA \sim \Delta IKA (g-g)$

=> $\frac{IK}{SC}=\frac{AI}{AS}\Rightarrow IK=\frac{AI.SC}{AS}=\frac{a}{2}.$

c) $IK = IB = ID = \frac{a}{2}$ nên tam giác $B K D$ vuông tại $K$ . (tam giác có trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì tam giác đó vuông)

Vậy $\widehat{BKD}=90^{0}.$

Ta có: $SA$ vuông góc với $B D$ (do $BD\perp (SAC)-cmt$ ) và $S A ⊥ I K (g t)$ nên $SA ⊥ (DKB)$ => $S A ⊥ D K$ .

Vì: $DK$ và $B K$ cùng vuông góc với $S A$ . Vậy góc $\hat{B K D}$ là góc giữa $(S A D)$ và $(S A B)$ và $\hat{B K D} = 90^{0}$ $\Rightarrow (S A D) ⊥ (S A B)$ .

lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Toán Hình 11