Giải Câu 2 Bài 5: Khoảng cách

Câu 2: Trang 119 - SGK Hình học 11

Cho tứ diện có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $ABC$ và $SBC$.

a) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.

b) Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng $(BHK)$ và $HK$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$.

c) Xác định đường vuông góc chung của và $SA$.

Bài làm:

a) Chứng minh đồng qui

Trong , gọi $E=AH\cap BC$.

là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $AE\mathrm{\perp }BC$ (1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Rightarrow BC\perp SE$.

Vì là trực tâm của tam giác $SBC(gt)\Rightarrow SE$ đi qua $\Rightarrow AH,BC,SK$ đồng quy tại $E$.

b) Chứng minh

• Vì H là trực tâm tam giác ABC nên . (3)

Mà là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $(ABC)$ (do $SA\perp (ABC)-gt$)

=> (định lý ba đường vuông góc) (4)

Từ (3)(4) suy ra: .

• Ta có: =>$(BHK)\perp (SBC)$ (5)

Vì: (6)

Từ (5) (6) và => $HK\perp (SBC)$

c) Xác định đường vuông góc chung của

Ta có: (tính chất trực tâm H của tam giác ABC)

mặt khác:

là đường vuông góc chung của $BC$ và $SA$.