Giải câu 5 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 5: Trang 10 - sgk giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) ($0

b) ($0

Bài làm:

a) Xét hàm số trên $(0,\frac{\pi}{2})$.

Ta có .

Hàm số có đạo hàm trên $(0,\frac{\pi}{2})$ và $f'(x)>0$ với mọi $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng này.

Suy ra với thì $f(x)>f(0)=0$ hay $\tan x-x >0$.

Vậy với $x \in(0, \frac{\pi}{2})$.

b) Xét hàm số với $x \in(0,\frac{\pi}{2})$

Ta có .

Theo kết quả câu a ta có với mọi $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ nên suy ra $g'(x)=\tan ^{2}x-x^{2}>0$ với $x \in (0,\frac{\pi}{2})$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên $(0, \frac{\pi}{2})$ $\Rightarrow g(x)>g(0)=0$ hay $ \tan x>x+\frac{x^{3}}{3}$ với $0