Tìm điều kiện của tham số để hàm số có hai cực trị thoả mãn điều kiện nào đấy.

Dạng 4: Cho hàm số . Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số có hai điểm cực trị $x_1$ và $x_2$ thoả mãn một điều kiện nào đó.

Bài làm:

I. Phương pháp giải

Ta giải bài toán theo hai bước:

• Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị;
• Bước 2: Đưa điều kiện đối với và $x_2$ về điều kiện với tham số. Ở bước này ta thường sử dụng định lí Vi-ét ( và $x_2$ là các nghiệm của $y^{{}^{\prime }}$).

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số , với m là tham số. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại $x_1$, $x_2$ sao cho | $x_1$ - $x_2$| $\le$ 2.

Bài giải:

Ta có .

+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại , $x_2$ $\iff y^{{}^{\prime }}=3x^2-6(m+1)x+9$ có hai nghiệm phân biệt , $x_2$.

${△}^{{}^{\prime }}=9.((m+1{)}^2-3)>0$ $\iff m>-1+\sqrt{3}$ hoặc $m<-1-\sqrt{3}$ (1).

+) Theo định lí Vi-ét ta có: + $x_2$ = 2(m + 1); .$x_2$ = 3. Khi đó:

| - $x_2$| $\le$ 2 $\iff$ $(x_1+x_2{)}^2$ - 4.$x_2$ $\le 4$.

.

.

(2).

Từ (1) và (2) ta có: và $-1+\sqrt{3}<m\le 1$.

Bài tập 2: Cho hàm số ,với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đạt cực trị tại $x_1,x_2$ sao cho $x_1+2x_2=1$.

Bài giải:

Ta có:

Hàm số có cực đại và cực tiểu $y^{{}^{\prime }}=x^2-2(m-1)x+3(m-2)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$.

${△}^{{}^{\prime }}=m^2-5m+7>0$ (đúng với mọi m).

Khi đó ta có:

.

$m=\frac{-19+\sqrt{73}}{16}$ hoặc $m=\frac{-19-\sqrt{73}}{16}$.