Giải câu 1 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Câu 1: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với n Є N^*, ta có đẳng thức:

a) 2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 = ;

b) ;

c) 1² + 2² + 3² +….+ n^{2 = .}

Bài làm:

a) Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1,

S_k= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =

Xét với n = k + 1, ta có:

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =

S_k+1 = S_k + 3k + 2 = + 3k + 2 = \( \frac{3k^{2}+k+6k+4}{2}\)

(đpcm)

Theo phương pháp quy nạp => hệ thức đúng với mọi n Є N^*

b) Với n = 1, 2 về của hệ thức bằng nhau.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử n = k ≥ 1, tức là

Xét với n = k + 1 ta có

= (đpcm)

=>hệ thức b) đúng với mọi n ε N^*

c) Với n = 1, vế trái bằng về phải. Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, hay

S_k = 1² + 2² + 3² + …+ k² =

Xét n = k + 1 ta có

S_k+1 = S_k + (k + 1)^{2 =} = (k + 1). = (k + 1)\( \frac{2k^{2}+k+6k+6}{6}\)

(đpcm)

=>hệ thức c) đúng với mọi n ε N^*