Giải câu 1 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Câu 1: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với n Є N^*, ta có đẳng thức:

a) 2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 = $\frac{n(3n+1)}{2}$ ;

b) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$ ;

c) 1² + 2² + 3² +….+ n^{2 = .}

Bài làm:

a) Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1,

S_k= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = $\frac{k(3k+1)}{2}$

Xét với n = k + 1, ta có:

S_k+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) = $\frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$

S_k+1 = S_k + 3k + 2 = $\frac{k(3k+1)}{2}$ + 3k + 2 = $ \frac{3k^{2}+k+6k+4}{2}$

$=\frac{3(k^{2}+2k+1)+k+1}{2} = \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$ (đpcm)

Theo phương pháp quy nạp => hệ thức đúng với mọi n Є N^*

b) Với n = 1, 2 về của hệ thức bằng nhau.

Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử n = k ≥ 1, tức là $S_{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{k}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}$

Xét với n = k + 1 ta có

$S_{k+1}=S_{k}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}$

= $\frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$ (đpcm)

=>hệ thức b) đúng với mọi n ε N^*

c) Với n = 1, vế trái bằng về phải. Đặt vế trái bằng S_n.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, hay

S_k = 1² + 2² + 3² + …+ k² = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Xét n = k + 1 ta có

S_k+1 = S_k + (k + 1)^{2 =} = (k + 1). $\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}$ = (k + 1)$ \frac{2k^{2}+k+6k+6}{6}$

$=\frac{(k+1)(2k(k+2)+3)+3(k+2)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$ (đpcm)

=>hệ thức c) đúng với mọi n ε N^*

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác