Giải Câu 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Câu 11: Trang 114 - SGK Hình học 11

Cho hình chóp có đáy \(ABCD\) là một hình thoi tâm \(I\) cạnh \(a\) và có góc \(A\) bằng \(60^{0},\) cạnh \(SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}\) và \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).

a) Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).

b) Trong tam giác kẻ \(IK\) vuông góc với tại $K$. Hãy tính độ dài

c) Chứng minh và từ đó suy ra mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAD)\).

Bài làm:

a) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) suy ra \(SC\bot BD\) (1)

là hình thoi nên \(AC\bot BD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

.

b) Xét tam giác vuông có:

=>

Xét tam giác vuông có: \(SA=\sqrt {A{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{6{a^2}} \over 4}} =\frac{3a}{\sqrt{2}}.\)

Hai tam giác vuông và \(IKA\) có:

, $\widehat{C}=\widehat{K}=90^0$

=>

=>

c) nên tam giác \(BKD\) vuông tại \(K\). (tam giác có trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì tam giác đó vuông)

Vậy

Ta có: vuông góc với \(BD\) (do ) và $SA \perp IK (gt)$ nên => $SA \perp DK$.

Vì: và \(BK\) cùng vuông góc với \(SA\). Vậy góc \(\widehat {BKD}\) là góc giữa \((SAD)\) và \((SAB)\) và \(\widehat{BKD}=90^{0}\) \(\Rightarrow (SAD) ⊥ (SAB)\).