Giải Câu 6 Bài 5: Khoảng cách

Câu 6: Trang 119 - SGK Hình học 11

Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh và $CD$ của tứ diện $ABCD$ là đường vuông góc chung của và $CD$ thì $AC=BD$ và $AD=BC$.

Bài làm:

Gọi I là trung điểm AB, J là trung điểm CD.

Qua kẻ đường thẳng $d//CD$, lấy trên $d$ điểm $E,F$ sao cho $IE=IF=\frac{CD}{2}$ ( là trung điểm của $EF$). $IJ$ vuông góc với $CD$ $\Rightarrow IJ$ vuông góc với $EF$, mà $IJ$ cũng vuông góc với $AB\Rightarrow IJ\mathrm{\perp }(AEBF)$.

Ta có là hình bình hành có $IJ$ là đường trung bình

Do đó và $DF$ cùng song song với $IJ$

Vì

Suy ra và $DF$ cùng vuông góc với mp $(AEBF)$

.

suy ra: $AF=BE$

Xét và $∆CEB$ có:

+)

+)

+)

.

Chứng minh tương tự ta được .