Giải câu 2 trang 28 toán VNEN 9 tập 1

Câu 2: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) + $\sqrt{\frac{2} + \sqrt{3}}{\frac{2}- \sqrt{3}}$ = 4 ;

b) - $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ - $\frac{2b}{a - b}$ = 1 với a $\geq $ 0, b $\geq $ 0, a $\neq $ b

c) \left ( 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right )$ = 1 - a với a > 0, a $\neq $ 1.

Bài làm:

a) Biến đổi vế trái ta có:

+ $\sqrt{\frac{2} + \sqrt{3}}{\frac{2} - \sqrt{3}}$

= + $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$

= + $\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}$

= + $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{1}$ = 4

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái ta có:

- $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ - $\frac{2b}{a - b}$

= - $\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$ - $\frac{2b}{a - b}$

= - $\frac{\sqrt{ab} - b}{a - b}$ - $\frac{2b}{a - b}$

=

= = 1

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế trái ta có:

\left ( 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right )$

= \frac{\sqrt{a} - 1 - a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}$

= \frac{- a + 2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 1}$

= \left ( - (\frac{\sqrt{a} - 1)^{2}}{\sqrt{a} - 1} \right )$

= - ( + 1).( - 1)

= - a + 1 = 1 - a

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.