Giải câu 6 bài 3: Nhị thức Niu tơn

Câu 6: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng:
a) 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100;

b) 101¹⁰⁰– 1 chia hết cho 10 000;

c) là một số nguyên

Bài làm:

a) Ta có:

11¹⁰ – 1 = (1 + 10)¹⁰ – 1 = (1 + C¹₁₀ 10 + C²₁₀10² + … +C⁹₁₀ 10⁹ + 10¹⁰) – 1

= 10² + C²₁₀10² +…+ C⁹₁₀ 10⁹ + 10¹⁰

= 10² ( 1 + C²₁₀ + …+ C⁹₁₀ 10⁷ + 10⁹). (1)

Ta thấy tổng (1) chia hết cho 100, vậy nên 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100.

b) Ta có

101¹⁰⁰ – 1 = (1 + 100)¹⁰⁰ - 1

= (1 + C¹₁₀₀ 100 + C²₁₀₀ 100² + …+C⁹⁹₁₀₀ 100⁹⁹ + 100¹⁰⁰) – 1.

= 100² + C²₁₀₀100² + …+ C⁹⁹₁₀₀100⁹⁹ + 100¹⁰⁰.

= 100² (1 + C²₁₀₀ + …+ C⁹⁹₁₀₀100⁹⁷ + 100⁹⁸). (2)

Ta thấy tổng (2) chia hết cho 100 000, vậy nên 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 100 000.

c) Ta có

(1 + √10)¹⁰⁰ = 1 + C¹₁₀₀ √10 + C²₁₀₀ (√10)² +…+ C⁹⁹₁₀₀(√10)⁹⁹ + C¹⁰⁰₁₀₀ (√10)¹⁰⁰

(1 - √10)¹⁰⁰ = 1 - C¹₁₀₀ √10 + C²₁₀₀ (√10)² -…- C⁹⁹₁₀₀ (√10)⁹⁹ + C¹⁰⁰₁₀₀ (√10)¹⁰⁰

=> √10[(1 + √10)¹⁰⁰ – (1 - √10)¹⁰⁰]

= 2√10[C¹₁₀₀ √10 + C³₁₀₀ (√10)³ +…+ C⁹⁹₁₀₀. (√10)⁹⁹]

= 2(C¹₁₀₀ 10 + C³₁₀₀ 10² +…+ C⁹⁹₁₀₀ 10⁵⁰) (3)

Ta thấy (3) là một số nguyên, vậy nên √10[(1 + √10)¹⁰⁰ – (1 - √10)¹⁰⁰] là một số nguyên.