Giải câu 8 bài Ôn tập cuối năm

1 lượt xem

Câu 8: trang 178 sgk toán Đại số và giải tích 11

Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.

Bài làm:

Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:

Bước 1: Chứng minh bài toán đúng với
Bước 2: Giả thuyết bài toán đúng với (gọi là giả thiết quy nạp)
Bước 3. Chứng minh bài toán đúng v4ới

Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi $n\in {\mathbb N}^*$

Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi $n\in {\mathbb N}^*$ ta có:

${1} + {3} + {5} + ... + {2n-1} = n^2(1)$

Giải

Khi , vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng . Vậy hệ thức (1) đúng.
Đặt vế trái bằng

Giả sử (1) đúng khi $n = k\geq 1$ , tức là:

(giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh (1) đúng khi , tức là phải chứng minh:

$S_{k+1}=1+3+5+...+(2k-1) +[(2(k+1)-1]=(k+1)^2$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k+1}=S_k+[(2(k+1)-1]=k^2+2k+1=(k+1)^2$

Vậy (1) đúng khi .

Kết luận: (1) đúng với $n\in {\mathbb N}^*$

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác