Giải bài 3 Ôn tập cuối năm

1 Đánh giá

Bài 3: trang 179 sgk toán Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình

a) $2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x$

b) $3cos x + 4sin x = 5$

c) $sin x + cos x = 1 + sin x. cosx$

d) $\sqrt {1 - \cos x} = \sin x(x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right]$

e) $(cos{x \over 4} - 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} - 3\cos x)cosx = 0$

Bài làm:

a. $2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x$

$\Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}({\cos ^2}x - {\sin ^2}x) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x$

$\Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos\,2x = \cos \,2x$

$\Leftrightarrow \cos \,2x(2\sin {x \over 2} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos\, 2x = 0 \hfill \cr \sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr \left[ \matrix{{x \over 2} = {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr {x \over 2} = \pi - {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb Z)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x={\pi \over 4} + k\pi ; x={\pi \over 3} + k2\pi; x={{5\pi } \over 3} + k2\pi, k \in \mathbb Z$

b. $3\,cos\,x + 4\,sin\,x = 5$

$\Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1$

Đặt $cos\,\varphi =\frac{3}{5}; sin\,\varphi =\frac{4}{5}, \left ( 0 < \varphi < {\pi \over 2} \right )$

Ta được:

$\cos \,x\cos \,\varphi + \sin \,x\,\sin \,\varphi = 1$

$\Leftrightarrow \cos (x - \varphi ) = 1$

$\Leftrightarrow x - \varphi = k2\pi (k \in\mathbb Z)$

$\Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi (k \in\mathbb Z)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \varphi + k2\pi (k \in\mathbb Z)$

với $cos\,\varphi =\frac{3}{5}; sin\,\varphi =\frac{4}{5}, \left ( 0 < \varphi < {\pi \over 2} \right )$

c. $sin\, x + cos\,x = 1 + sin\,x. cos\,x$

$⇔ sin\, x – sin \,x. cos\,x + cos\,x – 1= 0$

$⇔ sin \,x ( 1 – cos\,x) – (1 – cos\,x) = 0$

$\Leftrightarrow (1 - \cos \,x)(\sin \,x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr sinx = 1 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = k2\pi \hfill \cr x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = k2\pi ; x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z$

d. Điều kiện $\sin x ≥ 0$ .

Khi đó:

$\sqrt {1 - \cos\, x} = \sin \,x$

$\Leftrightarrow 1-\cos \,x = {\sin ^2}x$

$\Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - \cos \,x = 0$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}x - \cos \,x = 0$

$\Leftrightarrow \cos \,x(cos\,x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos \,x = 0 \hfill \cr \cos\, x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z$