Giải câu 1 bài 2: Giới hạn của hàm số

Câu 1: trang 132 sgk toán Đại số và giải tích 11

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow 4}{lim}\frac{x+1}{3x - 2}$ ;

b) $\underset{x \rightarrow +\infty }{lim}\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}$ .

Bài làm:

a) Đặt $f(x) = \frac{x +1}{3x - 2}$ là hàm số xác định trên $R ∖ {\frac{2}{3}}$

Ta có $x = 4 \in \left( {{2 \over 3}; + \infty } \right)$

Giả sử $(x_n)$ là dãy số bất kì và $x_{n} \in (\frac{2}{3}; + \infty)$ ; $x_{n} \neq 4$ và $x_{n} \to 4$ khi $n \to + \infty$ .

Ta có $\lim f(x_n) = \lim \frac{x_{n} +1}{3x_{n} - 2}$

$=\frac{lim \,(x_{n}+1)}{lim \,(3x_{n}-2)}$

$=\frac{lim \,x_{n}+lim \,1}{lim \,3x_{n}-lim \,2}$

$= \frac{4 + 1}{3. 4 - 2} = \frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ .

Vậy theo định nghĩa ta có: $\underset{x\rightarrow 4}{\lim}$ $\frac{x + 1}{3 x - 2}$ = $\frac{1}{2}$ .

b) Hàm số $f(x)$ = $\frac{2 - 5 x^{2}}{x^{2} + 3}$ xác định trên $R$ .

Giả sử $(x_n)$ là dãy số bất kì và $x_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$

Ta có $\lim f(x_n) = \lim \frac{2-5x^{2}_{n}}{x^{2}_{n}+3}$

$= \lim \frac{\frac{2}{x^{2}_{n}}-5}{1+\frac{3}{x^{2}_{n}}}$

$=\frac{lim \,\left ( \frac{2}{x^{2}_{n}}-5 \right )}{lim \,\left ( 1+\frac{3}{x^{2}_{n}} \right )}$

$=-\frac{5}{1}= -5$ .

Vậy theo định nghĩa ta có $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}$ $\frac{2 - 5 x^{2}}{x^{2} + 3} = - 5$ .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác