Giải câu 4 bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Câu 4: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng hàm số

$f (x) = {\begin{matrix} (x - 1)^{2} nếu x \geq 0 \\ - x^{2} nếu x < 0 \end{matrix}$

không có đạo hàm tại điểm $x = 0$ nhưng có đạo hàm tại điểm $x = 2$ .

Bài làm:

Ta có

$\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} f(x) =\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} (x – 1)^2= 1$

$\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} f(x) = \mathop{ \lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} (-x^2) = 0$ .

Vì $\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} f(x)\neq \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} f(x)$

$\Rightarrow$ hàm số $y = f (x)$ gián đoạn tại $x = 0$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm $x = 0$ .

Ta có

$\mathop{ \lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2 \right )}{\Delta x}$

$=\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-1^{2}}{\Delta x}$

$=\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (2 + ∆x) = 2$ .

Vậy hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x = 2$ , khi đó $f^{'} (2) = 2$ .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác