Giải câu 6 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 6: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích lớp 11

Cho dãy số $(u_n)$ , biết $u_{1} = 2, u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ (với $n \geq 1$ )

a) Viết năm số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh: $u_n= 2^{n-1}+ 1$ bằng phương pháp quy nạp.

Bài làm:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy là:

${u_1} = 2$

${u_2} = 2{u_1}-1 = 2.2-1=3$

${u_3} = 2{u_2}-1 = 2.3-1=5$

${u_4} = 2{u_3} - 1 = 2.5-1=9$

${u_5} = 2{u_4}-1 = 2.9-1=17$

b) Với $n = 1$ , ta có: $u_{1} = 2^{1 - 1} + 1 = 2$ công thức đúng.

Giả sử công thức đúng với $n = k$

Hay ${u_k} = {2^{k - 1}} + 1$

Ta chứng minh công thức cũng đúng với $n = k + 1$

Hay là ta cần phải chứng minh ${u^{k + 1}} = {2^{\left( {k + 1} \right) - 1}} + 1 = {2^k} + 1$

Ta có: ${u_{k + 1}} = 2{u_k} - 1 = 2({2^{k - 1}} + 1) - 1 = {2.2^{k - 1}} + 2-1 = {2^k} + 1$ (đpcm)

Vậy $u_n= 2^{n-1}+ 1$ với mọi $n \in N^{*}$ .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Nhiều người quan tâm