Giải bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm mới là đạo hàm. KhoaHoc xin chia sẻ với các bạn bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn.
Nội dung bài học gồm 2 phần:
- Lý thuyết cần biết
- Hướng dẫn giải bài tập SGK
A. Lý thuyết cần biết
I. Đạo hàm tại một điểm
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm tìm đạo hàm
- Bài toán tìm vận tốc tức thời.
Giới hạn hữu hạn (nếu có) 
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
- Bài toán tìm cường độ tức thời.
Giới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là cường độ tức thời của chuyển động tại thời điểm
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số xác định trên khoảng \((a; b)\)và \(x_0\in (a;b)\)
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\)và kí hiệu là \(f'(x_0)\)(hoặc \(y'(x_0)\)), tức là:\(f'(x_0)=\underset{x\rightarrow x_0 }{lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)
Chú ý:
- Đại lượng được gọi là số gia của đối số tại .
- Đại lượng được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
- Như vậy,
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
QUY TẮC
Bước 1: Giả sử là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)
Bước 2: Lập tỉ số
Bước 3: Tìm
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
ĐỊNH LÍ 1
Nếu hàm số có đạo hàm tại \(x_0\)thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý:
a. Định lí trên tương đương với khẳng đinh: Nếu hàm số gián đoạn tại $x_0$thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
b. Mệnh đề đảo của định lí 1 không đúng: Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
ĐỊNH LÍ 2
Đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\)là hệ số góc của tiếp tuyến \(M_0T\)của \((C)\)tại điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\)
Phương trình tiếp tuyến
ĐỊNH LÍ 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số tại điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\)là:
trong đó
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Tính vận tốc tức thời
- Tính cường độ tức thời.
II. Đạo hàm trên một khoảng
ĐỊNH NGHĨA
Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng \((a; b)\)nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\)trên khoảng \((a;b)\).
Kí hiệu là hay $f'(x)$
B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Kiến thức thú vị
Câu 1: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm số gia của hàm số , biết rằng :
a)
b)
Câu 2: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính và \({{\Delta y} \over {\Delta x}}\) của các hàm số sau theo \(x\) và \(∆x\) :
| a) ; | b) ; |
| c) ; | d) |
Câu 3: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) tại \(x_0= 1\);
b) tại \(x_0= 2\);
c) tại \(x_0 = 0\).
Câu 4: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng hàm số
\(f(x) = \left\{ \matrix{
{(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\)
không có đạo hàm tại điểm nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
Câu 5: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong :
a) Tại điểm có tọa độ ;
b) Tại điểm có hoành độ bằng ;
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
Câu 6: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol :
a) Tại điểm
b) Tại điểm có hoành độ bằng ;
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -.
Câu 7: trang 157 sgk toán Đại số và giải tích 11
Một vật rơi tự do theo phương trình , trong đó \(g ≈ 9,8\) m/s2 là gia tốc trọng trường.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến , trong các trường hợp \(∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s\).
b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
=> Trắc nghiệm đại số và giải tích 11 bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (P1)
Lớp 11