Giải bài 1: Giới hạn của dãy số

1 Đánh giá

Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm mới là Giới hạn và Hàm số liên tục. KhoaHoc xin chia sẻ với các bạn bài 1: Giới hạn của dãy số. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn.

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

Ôn tập lý thuyết

Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1

Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left | u_{n} \right |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0$ hay $u_{n}\rightarrow 0$ khi $n \to + \infty$

ĐỊNH NGHĨA 2

Ta nói dãy số $(v_{n})$ có giới hạn là số a (hay $v_{n}$ dần tới a ) khi $n \to + \infty$ , nếu $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(v_{n} -a)= 0$

Kí hiệu: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }v_{n} = a$ hay $v_{n}\rightarrow a$ khi $n \to + \infty$

2. Một số giới hạn đặc biệt

Từ định nghĩa ta suy ra các kết quả sau:

a. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }\frac{1}{n} = 0$ ; $\underset{n \to + \infty}{l i m} \frac{1}{n^{k}} = 0$ với k nguyên dương;

b. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }q^{n} = 0$ nếu $\left | q \right |<1$ ;

c. Nếu $u_{n}=c$ (c là hằng số) thì $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }c=c$

CHÚ Ý:

Từ nay về sau thay cho $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}=a$ ta viết tắt là $lim u_{n} = a$

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

ĐỊNH LÝ 1:

a. Nếu $lim u_{n}=a$ và $l i m v_{n} = b$ thì:

$lim (u_{n}+v_{n})=a+b$	$lim (u_{n}-v_{n})=a-b$
$lim (u_{n}.v_{n})=a.b$	$lim \frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{a}{b}$ nếu $b \neq 0$

b. Nếu $u_{n}\geq 0$ với mọi n và $l i m u_{n} = a$ thì:

$a\geq 0$ và $l i m \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn $(u_{n})$ có công bội q, với |q|cấp số nhân lùi vô hạn.
Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ có công bội q. Khi đó:

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n}}{1-q}=\frac{u_{1}}{1-q}-\left ( \frac{u_{1}}{1-q} \right ).q^{n}$

Vì |q|<1 nên $lim q^{n}=0$ . Từ đó ta có:

$lim S_{n}=lim \left [ \frac{u_{1}}{1-q}-\left ( \frac{u_{1}}{1-q} \right ).q^{n} \right ]=\frac{u_{1}}{1-q}$

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi cô hạn $(u_{n})$ và được kí hiệu là $S = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{n} + . . . .$

Như vậy: $S=\frac{u_{1}}{1-q}; |q|<1$

IV. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa

Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn $+\infty$ khi $n \to + \infty$ , nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $lim u_{n}=+ \infty$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $- \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $l i m (- u_{n}) = + \infty$

Kí hiệu: $lim u_{n}= - \infty$ hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty$

Nhận xét: $lim u_{n}=+\infty \Leftrightarrow lim (-u_{n})=-\infty$

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau:

a. $lim n^{k}=+\infty$ với k nguyên dương

b. $lim q^{n}=+\infty$ nếu $q > 1$

3. Định lý

Ta thừa nhận định lý sau:

ĐỊNH LÝ 2

a. Nếu $lim u_{n}=a$ và $l i m v_{n} = \pm \infty$ thì $l i m \frac{u_{n}}{v_{n}} = 0$

b. Nếu $lim u_{n}=a>0, lim v_{n}=0$ và $v_{n}>0$ với mọi n thì $lim \frac{u_{n}}{v_{n}}=+\infty$

c. Nếu $lim u_{n}=+\infty$ và $l i m v_{n} = a > 0$ thì $l i m u_{n} . v_{n} = + \infty$

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: trang 121 sgk toán Đại số và giải tích 11

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

Gọi $(u_n)$ là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số $(u_{n})$ .

b) Chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b, chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn $10^{-6}g$ .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: trang 121 sgk toán Đại số và giải tích 11

Biết dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $| u_{n} - 1 | < \frac{1}{n^{3}}$ với mọi n. Chứng minh rằng $lim u_{n} = 1$ .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: trang 121 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tìm giới hạn sau:

a) $\lim \frac{6n - 1}{3n +2}$

b) $\lim \frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}$

c) $\lim \frac{3^{n}+5.4^{n}}{4^{n}+2^{n}}$

d) $\lim\frac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng $1$ . Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu $1, 2, 3, . . ., n, . . .$ trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51)