Giải bài 4: Cấp số nhân

1 Đánh giá

Cấp số nhân là gì, các tính chất liên quan như thế nào? Để biết chi tiết hơn, KhoaHoc xin chia sẻ với các bạn bài 4: Cấp số nhân. Với kiến thức trọng tâm và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu giúp các bạn học tập tốt hơn.

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

Ôn tập lý thuyết
Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu $(u_{n})$ là cấp số nhân với công bội q ta có công thức truy hồi:

$u_{n+1}-u_{n}.q; n \in \mathbb{N}$ (1)

Đặc biệt:

Khi $q=0$ , cấp số nhân có dạng $u_{1}; 0; 0; . . . .; 0; . . . . .$
Khi $q=1$ , cấp số nhân có dạng $u_{1}; u_{1}; u_{1}; u_{1}; u_{1}; . . . . .; u_{1}; . . . . . . . . . . . .$
Khi $u_{1}=0$ thì với mọi q, cấp số nhân có dạng $0; 0; 0; . . . . .; 0; . . . . . .$

2. Số hạng tổng quát

ĐỊNH LÍ 1:

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát $u_{n}$ được xác định bởi công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$ (2)

3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

ĐỊNH LÍ 2:

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đề là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k}^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}; k\geq 2$ (3)

hay $|u_{k}|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}}$

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cấp số nhân $(u_{n})$ công bội q có thể viết dưới dạng:

$u_{1}, u_{1}q^{2}; u_{1}q^{3}; ...; u_{1}q^{n-1}; ......$

Khi đó: $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+....+u_{n}=u_{1}+u_{1}q+u_{1}q^{2}+u_{1}q^{3}+...+u_{1}q^{n-1}$ (4)

Nhân hai vế của (4) với q ta được:

$q.S_{n}=u_{1}+u_{1}q^{2}+u_{1}q^{3}+...+u_{1}q^{n-1}$ (5)

Trừ từng vế tương ứng của các đẳng thức (4) và (5) ta được:

$(1-q)S_{n}=u_{1}(1-q^{n})$

ĐỊNH LÍ 3:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội $q \neq 1$

Đặt: $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+....+u_{n}$

Khi đó: $S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11

Chứng minh các dãy số $\left ( \frac{3}{5} . 2^n \right )$ , $\left (\frac{5}{2^{n}} \right )$ , $\left ( \left ( -\frac{1}{2} \right )^{n} \right )$ là các cấp số nhân.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11

Cho cấp số nhân với công bội $q$ .

a) Biết $u_1= 2, u_6= 486$ . Tìm $q$

b) Biết $q = \frac{2}{3}$ , $u_4= \frac{8}{21}$ . Tìm $u_1$

c) Biết $u_1= 3, q = -2$ . Hỏi số $192$ là số hạng thứ mấy?

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tìm các số hạng của cấp số nhân $(u_n)$ có năm số hạng, biết:

a) $u_3= 3$ và $u_5= 27$ ;

b) $u_4– u_2= 25$ và $u_3– u_1= 50$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: trang 104 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là $31$ và tổng của năm số hạng sau là $62$ .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: trang 104 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là $1,4\%$ . Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là $1,8$ triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6: trang 104 sgk toán Đại số và giải tích 11

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_{2}$ . Từ hình vuông $C_{2}$ lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông khác. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông. Gọi $a_n$ là độ dài cạnh của hình vuông $C_n$ . Chứng minh dãy số $(a_n)$ là một cấp số nhân.