Giải câu 3 bài 4: Cấp số nhân

Câu 3: trang 103 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tìm các số hạng của cấp số nhân $(u_n)$ có năm số hạng, biết:

a) $u_3= 3$ và $u_5= 27$;

b) $u_4– u_2= 25$ và $u_3– u_1= 50$

Bài làm:

a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

$u_3= 3 = u_1.q^2$

$u_5= 27 = u_1.q^4$

Vì $27 = ({u_1}{q^2}).{q^2} = 3.{q^2}\Rightarrow {q^2} = 9\Rightarrow q = \pm 3$

Thay $q^2= 9$ vào công thức chứa $u_3$

Ta có $u_1=\frac{3}{q^{2}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ .

Cấp số nhân $(u_{n})$ công bội q có thể viết dưới dạng:

$u_{1}, u_{1}q^{2}; u_{1}q^{3}; ...; u_{1}q^{n-1}; ......$ . Ta có:

b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=25 & \\ u_{3}-u_{1}=50 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25(1)\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 (2) \end{matrix}\right.$

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với q ta được:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25(1)\\ u_{1}q^{3}-u_{1}q=50q (2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2}-u_{1}=50\\ 25-50q=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-u_{1}=50\\ q=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}=-\frac{200}{3}\\ q=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Ta có 5 số hạng của cấp số nhân $\frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}$ .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác