Giải câu 3 bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1 Đánh giá

Câu 3: trang 156 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) $y = x^2+ x$ tại $x_0= 1$;

b) $y = \frac{1}{x}$ tại $x_0= 2$;

c) $y = \frac{x+1}{x-1}$ tại $x_0 = 0$.

Bài làm:

a. Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0 = 1$.

Ta có: $∆y = f(1 + ∆x) - f(1) = (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) - (1^2+ 1)= 3∆x + (∆x)^2$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3∆x + (∆x)^2}{∆x}=3 + ∆x$

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (3 + \Delta x) = 3$

Vậy $f'(1) = 3$ .

b) Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0= 2$

Ta có: $∆y = f(2 + ∆x) - f(2)$

$= \frac{1}{2+\Delta x} - \frac{1}{2} =\frac{2-2-\Delta x}{2(2+\Delta x)}= - \frac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}$ ;

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{- \frac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}}{\Delta x}=- \frac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )}$

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { - {1 \over {2.(2 + \Delta x)}}} \right) = - {1 \over 4}$

Vậy $f'(2) = - \frac{1}{4}$ .

c) Giả sử $∆x$ là số gia của số đối tại $x_0= 0$.

Ta có: $∆y = f(∆x) - f(0) = \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}- ( -1) =\frac{∆x+1+∆x-1}{∆x-1}= \frac{2\Delta x}{\Delta x-1}$ ;

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{2\Delta x}{\Delta x-1}}{∆x}=\frac{2}{\Delta x-1}$

$\mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}$ $ \frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}$ $ \frac{2}{\Delta x-1} = -2$.

Vậy $f'(0) = -2$ .

1 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Đại số và giải tích lớp 11