Giải câu 2 bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

1 Đánh giá

Câu 2: trang 168 sgk toán Đại số và giải tích 11

Giải các bất phương trình sau:

a) $y'<0$ với \({{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\)

b) $y'≥0$ với \(y = \frac{x^{2}+3}{x+1}\)

c) $y'>0$ với \(y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\)

Bài làm:

a) $y'<0$ với \({{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\)

Ta có $y'=\frac{(x^{2}+x+2)'.(x-1)-(x^{2}+x+2).(x-1)'}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}$

$\Rightarrow y'<0\Leftrightarrow \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ne 1 \hfill \cr - 1 < x < 3 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow x∈ (-1;1) ∪ (1;3)$

Vậy $x∈ (-1;1) ∪ (1;3)$

b) $y'≥0$ với \(y = \frac{x^{2}+3}{x+1}\)

Ta có $y'=\frac{(x^{2}+3)'.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1)'}{(x+1)^{2}}= \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}$ .

$\Rightarrow y'≥0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0$

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ne - 1 \hfill \cr \left[ \matrix{x \ge 1 \hfill \cr
x \le - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x \ge 1 \hfill \cr x \le - 3 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)$

Vậy $x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)$

c) $y'>0$ với \(y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\)

Ta có $y'=\frac{(2x-1)'.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)'}{(x^2+x+4)}=\frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)}$ .

Vì $x^2+x +4 =\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}+ \frac{15}{4} >0$ , với \(∀ x ∈ \mathbb R\)

$\Rightarrow y'>0 \Leftrightarrow \frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)} >0$

$\Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0$

$\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{19}}{2}$

$\Leftrightarrow x∈ \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )$

Vậy $x∈ \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )$

lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Đại số và giải tích lớp 11