Giải câu 7 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

1 Đánh giá

Câu 7: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích lớp 11

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số $(u_n)$ , biết:

a) ${u_n} = n + {1 \over n}$

b) ${u_n} = {( - 1)^n}\sin {1 \over n}$

c) ${u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n$

Bài làm:

a. Xét hiệu:

$u_{n +1} -u_{n}= \left ( n+1+\frac{1}{n+1} \right ) - \left ( n+\frac{1}{n+1} \right )$

$= 1 + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n^{2}+n-1}{n(n+1)},n \in {N^*}$

Vậy $u_n$ là dãy số tăng (1)

Ta lại có: ${u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}} = 2,\forall n \in {N^*}$

Nên $u_n$ là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta thấy khi $n$ càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên (3)

Từ (1), (2), (3) ta có $u_n$ là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b. Ta có:

$u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0$

$u_{2}=(-1)^{1}.sin\frac{1}{2}=-sin\frac{1}{2}<0$

$u_{3}=(-1)^{2}.sin\frac{1}{3}=sin\frac{1}{3}>0$

$\Rightarrow u_{1}> u_{2}$ và $u_2< u_3$

Vậy $u_n$ là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có: $\eqalign{ & |{u_n}| = |{( - 1)^{n - 1}}.\sin {1 \over n}| = |\sin {1 \over n}| \le 1 \cr \Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1 \cr}$

Vậy $u_n$ là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c. Ta có:

${u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{\sqrt{(n+1)+1}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Ta có:

$\left\{ \matrix{ \sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr \sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n$

$\Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0$

$\Rightarrow u_{n}$ là dãy số giảm (1)

Ta lại có: ${u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N*$

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì $\sqrt {n + 1} + \sqrt n \ge \sqrt 2 + 1$

Nên ${u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2 + 1}}$

Suy ra: $u_n$ là dãy số bị chặn trên (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $u_n$ là dãy số giảm và bị chặn

3 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Đại số và giải tích lớp 11