Giải câu 5 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 5: trang 107 sgk toán Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi $n\in {\mathbb N}^*$ , ta có:

a. $13^n-1$ chia hết cho 6

b. $3n^3+ 15n$ chia hết cho 9

Bài làm:

a) Với $n = 1$ , ta có:

$13^1– 1 = 13– 1 = 12 ⋮ 6$

Giả sử: $(13^k- 1) ⋮ 6$ với mọi $k \geq 1$

Ta chứng minh: $13^{k+1}– 1$ chia hết cho $6$

Thật vậy:

${13^{k + 1}}-1= {13^{k + 1}}-{13^k} + {13^k} - 1 = {12.13^k} + {13^k}-1$

Vì : $12.13^k ⋮ 6$ và $(13^{k} - 1) ⋮ 6$ (theo giả thiết quy nạp)

$\Rightarrow (13^{k+1}– 1) ⋮ 6$

Vậy $(13^n-1)$ chia hết cho 6

b) Với $n = 1$ , ta có: ${3.1}^{3} + 15.1 = 18 ⋮ 9$

Giả sử: $(3k^3+ 15k) ⋮ 9$ .

Ta chứng minh: $[3(k + 1)^3+ 15(k + 1)] ⋮ 9$

Thật vậy:

$3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right)$

$= 3.({k^3} + 3{k^2} + 3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)$

$= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18$

$= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2)$

Vì $(3k^3 + 15k) ⋮ 9$ (theo giả thiết quy nạp) và $9 (k^{2} + k + 2) ⋮ 9$

$\Rightarrow [3(k + 1)^3+ 15(k + 1)] ⋮ 9$

Vậy: $3n^3+ 15n$ chia hết cho 9 với mọi $n \in N^{*}$

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác