Giải Câu 9 Bài 1: Vecto trong không gian

Câu 9: Trang 92 - SGK Hình học 11

Cho tam giác . Lấy điểm \(S\) nằm ngoài mặt phẳng \((ABC)\). Trên đoạn \(SA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{MS}\) = \(-2\overrightarrow{MA}\) và trên đoạn \(BC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}.\) Chứng minh rằng ba véctơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.

Bài làm:

Theo đề bài: = \(-2\overrightarrow{MA}\)

=> và $\overrightarrow{MS}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AS}$

=>

Lại có:

=> và $\overrightarrow{CN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{CB}$

=>

Theo quy tắc chèn điểm, ta có:

= \(\overrightarrow{MS}\) + \(\overrightarrow{SC}\) + \(\overrightarrow{CN}\)

= + \(\overrightarrow{SC}\) + \(\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}.\) (1)

= \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{BN}\)

= + \(\overrightarrow{AB}\) + \(-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}.\) (2)

Nhân (2) với 2 rồi cộng với (1) ta được:

= \(\overrightarrow{SC}\) + \(2\overrightarrow{AB}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}= \frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\)

Vậy , \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.