Giải bài 2: Dãy số

Dãy số là gì, có những loại dãy số như thế nào ? Để biết chi tiết hơn, KhoaHoc xin chia sẻ với các bạn bài: Dãy số. Với kiến thức trọng tâm và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu giúp các bạn học tập tốt hơn.

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

• Ôn tập lý thuyết
• Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. LÝ THUYẾT

I. Định nghĩa

Dãy số: Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N^* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

u: N^* → R

n → u(n)

• Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂,u₃, ….,u_n,….,
• trong đó u_n = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u₁ là số hạng đàu của dãy số (u_n )

Dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, ..., m}, với m Є N^* được gọi là một dãy số hữu hạn

• Dạng khai triển của nó là: u₁, u₂,u₃, ….,u_m, trong đó u₁là số hạng đầu, u_m là số hạng cuối.

II. Cách cho một dãy số

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

• Khi đó Un = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N^{* .}
• Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cúng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được u_n.

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

• Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được u_n với n tuỳ ý.

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

• Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)
• Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vào số hạng) đứng trước đó.

III. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số tăng : Dãy số U_n được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n Є N^* ;

Dãy số giảm : Dãy số U_n được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n Є N^* .

Dãy số bị chặn

• Dãy số U_n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho

U_n ≤ M, với mọi n Є N^*.

• Dãy số U_n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho

U_n ≥ m, với mọi n Є N^*.

• Dãy số U_n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho:

m ≤ U_n ≤ M, với mọi n Є N^*.