Giải bài 2: Mặt cầu

Bài học với nội dung: Mặt cầu. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, KhoaHoc sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn

A. Tổng hợp kiến thức

I. Khái niệm mặt cầu

1. Khái niệm

• Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng , ($r>0$) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính .
• Ký hiệu:

• CD được gọi là dây cung <=> hai điểm C, D nằm trên mặt cầu .
• AB được gọi là đường kính mặt cầu <=> dây cung AB đi qua tâm O.
• .

2. Điểm nằm trong và ngoài mặt cầu. Khối cầu

Cho và A là điểm bất kì trong không gian.

• => A nằm trên mặt cầu $S(O;r)$.
• => A nằm trong mặt cầu $S(O;r)$.
• => A nằm ngoài mặt cầu $S(O;r)$.

==> Kết luận:

• Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính $r$.

3. Cách biểu diễn mặt cầu

• Để biểu diễn mặt cầu, ta dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng.
• Hình biểu diễn mặt cầu là một hình tròn.

4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

• Kinh tuyến mặt cầu là đường giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu.
• Vĩ tuyến mặt cầu là đường giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục.
• Hai cực mặt cầu là hai giao điểm của mặt cầu với trục.

II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của O lên (P).

=> là khoảng cách từ O tới (P).

1. Khi

Với M là một điểm bất kì trên (P) =>

=> hay $\forall M \in (P)$.

==> Kết luận: (P) không cắt .

2. Khi $h=r$

• Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại H.

3. Khi

Ta có:

=> .

• Khi => Tâm O của mặt cầu thuộc (P).

=> Giao tuyến của (P) và là đường tròn tâm O bán kính $r$. ( gọi là đường tròn lớn ).

III. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu

Cho và đường thẳng $\Delta $. H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên $\Delta $ và $d= OH$ là khoảng cách từ O tới $\Delta $.

1. Khi

không cắt $S(O;r)$.

=> đều nằm ngoài $S(O;r)$.

2. Khi

• Điều kiện cần và đủ để tiếp xúc với $S(O;r)$ tại H là vuông góc với bán kính OH tại H.

3. Khi

Ta có: cắt $S(O;r)$ tại hai điểm M và N.

=> Hai điểm M và N là giao điểm của với đường tròn giao tuyến của $S(O;r)$ và mặt phẳng $(O,\Delta )$.

Đặc biệt:

• Khi => $\Delta $ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B.

=> AB là đường kính của mặt cầu.

IV. Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu

• Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

• Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Kiến thức thú vị

Câu 1: Trang 49 - sgk hình học 12

Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn một đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: Trang 49 - sgk hình học 12

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: Trang 49 - sgk hình học 12

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: Trang 49 - sgk hình học 12

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: Trang 49 - sgk hình học 12

Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; R), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD

b) Gọi MO = d. Tính MA.MB theo R và d.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6: Trang 49 - sgk hình học 12

Cho mặt cầu (O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B.

Chứng minh rằng: .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 7: Trang 49 - sgk hình học 12

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c.

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 8: Trang 49 - sgk hình học 12

Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 9: Trang 49 - sgk hình học 12

Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên a.

Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 10: Trang 49 - sgk hình học 12

Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc.

Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

=> Xem hướng dẫn giải

=> Trắc nghiệm hình học 12 bài 2: Mặt cầu