Giải bài 1: Giới hạn của dãy số

Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen về khái niệm mới là Giới hạn và Hàm số liên tục. KhoaHoc xin chia sẻ với các bạn bài 1: Giới hạn của dãy số. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn.

Nội dung bài viết gồm 2 phần:

Ôn tập lý thuyết

Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1

Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: hay khi $n\rightarrow +\infty $

ĐỊNH NGHĨA 2

Ta nói dãy số có giới hạn là số a (hay $v_{n}$dần tới a ) khi $n\rightarrow +\infty $, nếu

Kí hiệu: hay khi $n\rightarrow +\infty $

2. Một số giới hạn đặc biệt

Từ định nghĩa ta suy ra các kết quả sau:

a. ; \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }\frac{1}{n^{k}} = 0\)với k nguyên dương;

b. nếu ;

c. Nếu (c là hằng số) thì

CHÚ Ý:

Từ nay về sau thay cho ta viết tắt là \(\lim u_{n}=a\)

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

ĐỊNH LÝ 1:

a. Nếu và \(lim v_{n}=b\)thì:

	nếu $b\neq 0$

b. Nếu với mọi n và $lim u_{n}=a$thì:

và $lim \sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

• Cấp số nhân vô hạn có công bội q, với |q|cấp số nhân lùi vô hạn.
• Cho cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q. Khi đó:

Vì |q|<1 nên . Từ đó ta có:

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi cô hạn và được kí hiệu là $S=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}+....$

Như vậy:

IV. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa

• Ta nói dãy số có giới hạn khi \(n \rightarrow +\infty \), nếu \(u_{n}\)có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: hay \(u_{n} \rightarrow +\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty \)

• Dãy số được gọi là có giới hạn \(- \infty \) khi \(n\rightarrow + \infty \)nếu \(lim (-u_{n})= + \infty \)

Kí hiệu: hay \(u_{n} \rightarrow -\infty\) khi \(n \rightarrow +\infty \)

Nhận xét:

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau:

a. với k nguyên dương

b. nếu $q>1$

3. Định lý

Ta thừa nhận định lý sau:

ĐỊNH LÝ 2

a. Nếu và \(lim v_{n}=\pm \infty \)thì \(lim \frac{u_{n}}{v_{n}}=0\)

b. Nếu và với mọi n thì

c. Nếu và \(lim v_{n}=a>0\)thì \(lim u_{n}.v_{n}=+\infty \)

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Kiến thức thú vị

Câu 1: trang 121 sgk toán Đại số và giải tích 11

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

Gọi là khối lượng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số \((u_n)\).

b) Chứng minh rằng có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b, chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: trang 121 sgk toán Đại số và giải tích 11

Biết dãy số thỏa mãn \(|u_n-1| < \frac{1}{n^{3}}\) với mọi n. Chứng minh rằng \(\lim u_n=1\).

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: trang 121 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tìm giới hạn sau:

a)

b)

c)

d)

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng . Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu \(1, 2, 3, ..., n, ...\) trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51)

Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.

a) Gọi là diện tích của hình vuông màu xám thứ \(n\). Tính \(u_1, u_2, u_3\) và .

b) Tính với

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tính tổng

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1, 020 020 ... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 7: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11

Tính các giới hạn sau:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 8: trang 122 sgk toán Đại số và giải tích 11

Cho hai dãy số và \((v_n)\). Biết \(\lim u_n= 3; \lim v_n= +\infty \).

Tính các giới hạn:

a)

b) .

=> Xem hướng dẫn giải

=> Trắc nghiệm đại số và giải tích 11 bài 1: Giới hạn của dãy số (P2)