Giải sbt toán 6 tập 2: bài tập 101 trang 29

Bài 101: trang 29 sbt Toán 6 tập 2

Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.

Bài làm:

Gọi phân số dương là ${a \over b}$ với $a > 0, b > 0$ .

Không mất tính tổng quát giả sử $0 < a \le b.$

Đặt $b = a + m (m \in \mathbb{Z}, m \ge 0)$

Số nghịch đảo của ${a \over b}$ là $\frac{b}{a}$ ta có:

${a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a}$

$= {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a}$

$= {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1\,\,\,(1)$

Ta có: ${m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}$ (dấu bằng xảy ra khi $m = 0$ )

$\Rightarrow {a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}}$

$= {{a + m} \over {a + m}} = 1\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2$ , dấu bằng xảy ra khi $m = 0$ hay $a = b .$

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác