Giải câu 5 đề 8 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:

$ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$

Bài làm:

Ta có:

$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca (1)$

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có: $a^{2}< a.(b+c)\Rightarrow a^{2}<ab+ac$

Tương tự: $b^{2}<ab+bc;c^{2}<ca +bc$ . Suy ra: $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2 (a b + b c + c a) (2)$

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác