Giải câu 3 trang 104 toán VNEN 9 tập 2

Câu 3: Trang 104 toán VNEN 9 tập 2

a) Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm trong đường tròn (O). Chứng minh rằng: .

Hướng dẫn: Xem hình 83

Nối AD, BC khi đó (vì cùng chắn cung DB) và $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$ (vì cùng chắn cung $...$)

Do đó, DEA và BEC là hai tam giác đồng dạng.

Từ đó, suy ra: , hay $...$

b) Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm là A và B. Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt đường tròn (O') tại điểm C (khác với A). CB cắt (O) tại điểm D (khác với B). Gọi Cy là tiếp tuyến của (O') tại điểm C. Chứng minh Cy // AD.

Hướng dẫn: Xem hình 84

Trong (O') thì là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Cy và dây cung BC, nên $\widehat{BCy} = \frac{1}{2} sd CB$, còn $\widehat{CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung CB, nên $\widehat{CAB} = \frac{1}{2}CB$, suy ra $\widehat{BCy} = \widehat{CAB}$. Tương tự với (O), chứng minh được $\widehat{CAB} = \widehat{BDA}$.

Từ đó, suy ra:

c) Cho đường tròn (O; R) và dây cung HI. Qua điểm H kẻ Hx sao cho góc có số đo bằng nửa số đo cung nhỏ HI. Chứng minh rằng $OH \perp Hx$.

Hướng dẫn: Xem hình 85

Gọi J là điểm chính giữa cung nhỏ HI và K là giao điểm của OJ với HI thì và $\widehat{KOH} = \frac{1}{2}sd HI$.

Theo giả thiết, nên $\widehat{IHx} = \widehat{KOH}$.

Do hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau (), nên $.................$ tức là $..................$

Bài làm:

a) Các em vẽ lại hình 82 vào vở.

Nối AD, BC khi đó (vì cùng chắn cung DB) và $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$ (vì cùng chắn cung AC)

Do đó, DEA và BEC là hai tam giác đồng dạng.

Từ đó, suy ra: , hay $EA\times EB = ED\times EC$

b) Các em vẽ lại hình 84 vào vở

Trong (O') thì là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Cy và dây cung BC, nên $\widehat{BCy} = \frac{1}{2} sd CB$, còn $\widehat{CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung CB, nên $\widehat{CAB} = \frac{1}{2}CB$, suy ra $\widehat{BCy} = \widehat{CAB}$. Tương tự với (O), chứng minh được $\widehat{CAB} = \widehat{BDA}$.

Từ đó, suy ra: (vì có hai góc so le trong bằng nhau)

c) Các em vẽ lại hình của bài toán vào vở

Gọi J là điểm chính giữa cung nhỏ HI và K là giao điểm của OJ với HI thì và $\widehat{KOH} = \frac{1}{2}sd HI$.

Theo giả thiết, nên $\widehat{IHx} = \widehat{KOH}$.

Do hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau (), nên $\widehat{IHx} + \widehat{KHO} = 90^\circ$ tức là $OH \perp Hx$