Giải câu 5 đề 14 ôn thi toán 9 lớp 10

Bài 5: (1,5 điểm)

a. Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

b. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+ab+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}\leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Bài làm:

Với x,y > 0 ta có:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\Leftrightarrow \frac{y(x+y)+x(x+y)}{xy(x+y)}\geq \frac{4xy}{xy(x+y)}$

<=> $(x + y)^{2} - 4xy ≥ 0$

<=> $(x - y)^{2} ≥ 0$ ( luôn đúng)

Do a, b, c là các số thực dương nên a + 3b > 0, b + 2c + a > 0

Theo câu a, ta có:

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$

Tương tự, ta có:

$\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\geq \frac{4}{2a+4c+ab}=\frac{2}{a+2c+b}$

$\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+ab+c}\geq \frac{4}{2c+4a+ab}=\frac{2}{c+2a+b}$

$\Rightarrow \frac{2}{a+2b+c}+\frac{2}{a+2c+b}+\frac{2}{c+2a+b}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+2c+b}+\frac{1}{c+2a+b}$

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác