Ôn thi lên lớp 10 môn Toán Chuyên đề Phương trình , hệ phương trình bậc nhất

1 Đánh giá

Chuyên đề là kết quả thu được qua thời gian học tập và nghiên cứu về hệ phương trình.Rất mong được các bạn quan tâm và chia sẻ đề hoàn thiện chuyên đề hơn. Hi vọng nó sẽ là tài liệu bổ ích giúp chúng ta vượt qua 1 chẳng nhỏ trong chặng đường chinh phục toán học.

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc nhất .

I . Phương pháp giải

Bước 1 : Biến đổi phương trình đã cho về dạng : ax + b = 0 (1)
Bước 2 : Xét các trường hợp sau :

TH 1 : a = 0 thế vào (1) và kiểm tra .
TH 2 : $a\neq 0$ => $x=-\frac{b}{a}$ .

Bước 3 : Kết luận .

Bài tập minh họa :

Bài 1:

Giải và biện luận phương trình : 2x + 3m = mx + 2 (1)

Hướng dẫn :

Từ (1) <=> (2 - m )x = 2 - 3m (2)

Nếu m = 2 thì (2) <=> 0x = -4 (vô lý ) => (2) vô nghiệm.

Nếu $m\neq 2$ thì (2) <=> $x=\frac{2-3m}{2-m}$ .

Kết luận :

Với m = 2 => (1) vô nghiệm.

Với $m\neq 2$ => (1) có nghiệm duy nhất $x=\frac{2-3m}{2-m}$ .

Bài 2 :

Giải và biện luận : $\frac{2x+3m}{x^{2}-1}=\frac{m}{x+1}+\frac{2m-1}{x-1}$ (1)

Hướng dẫn:

Đk : $x\neq \pm 1$

(1) <=> (3m - 3)x= 2m + 1 (2)

Nếu 3m - 3 = 0 <=> m = 1 => (2) vô nghiệm.

Nếu $3m - 3 \neq 0 <=> m\neq 1$ thì (2) <=> $x=\frac{2m+1}{3m-3} $

Áp dụng đk : $x\neq \pm 1$ ta có : $x=\frac{2m+1}{3m-3}\neq \pm 1 $

<=> $\left\{\begin{matrix}x\neq 4 & \\ x\neq \frac{2}{5} & \end{matrix}\right.$ .

Kết luận :

Với m = 1, m = 4, m = $\frac{2}{5}$ => (1) vô nghiệm.

Với $m\neq 1\wedge m\neq 4\wedge m\neq \frac{2}{5}$ => (1) có nghiệm duy nhất $x= \frac{2m+1}{3m-3}$ .

Bài 3:

Giải và biện luận phương trình : $\frac{2mx-3}{\sqrt{x}}=\frac{x-m}{\sqrt{x}}$ (1)

Hướng dẫn :

Đk : x > 0.

(1) <=> 2mx - 3 = x - m = (2m - 1)x = 3 - m (2)

Nếu $m=\frac{1}{2}$ => (2) vô nghiệm.

Nếu $m\neq \frac{1}{2}$ thì (2) <=> $x=\frac{2m-1}{3-m}$.

Với Đk : x > 0 <=> $x=\frac{2m-1}{3-m}> 0 <=> \frac{1}{2}<m<3$ .

Vậy $\frac{1}{2}<m<3$ .

II. Bài tập áp dụng

Lưu ý : Các bạn áp dụng kiến thức đã học cùng việc tham khảo bài tập minh họa để tự giải quyết các bài tập sau:

Bài 1 :

Giải và biện luận phương trình : $\frac{2mx-3}{\sqrt{1-x}}=\frac{x-m}{\sqrt{x+3}}$

Bài 2:

Giải và biện luận phương trình : 2(x + 2)+ 3(m - 1) = mx + 2 .

Dạng 2: Nghiệm của phương trình bậc nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

I .Phương pháp giải

Bước 1 : Biến đổi phương trình đã cho về dạng : ax + b = 0 (1)
Bước 2 : Tìm điều kiện của a để (1) có nghiệm $x_{0}$ sao cho thỏa mãn điều kiện cho trước .

Bài tập minh họa :

Bài 1:

Cho phương trình : (2m + 1)x - 3m + 2 = 3x + m . (1)

Tìm m để phương trình có nghiệm $x\in (0;3)$ .

Hướng dẫn :

(1) <=> (2m - 2)x = 4m - 2 <=> (m - 1)x = 2m - 1 . (2)

Nếu m = 1 => (2) vô nghiệm.

Nếu $m\neq 1$ thì (2) <=> $x=\frac{2m-1}{m-1}$ .

Theo bài ra : nghiệm $x\in (0;3)$ <=> $0

<=> $\left\{\begin{matrix}\frac{2m-1}{m-1}>0 & \\ \frac{2m-1}{m-1} <3& \end{matrix}\right.$

<=> Hoặc $m<\frac{1}{2}$ hoặc m>2.

Vậy $m<\frac{1}{2}\vee m>2$ .

Bài 2:

Cho phương trình : $\sqrt{x-1}\begin{bmatrix}(2m-3)x+m+(1-m)x-3\end{bmatrix}=0$ (1)

Tìm m đề phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn:

(1) <=> Hoặc x = 1 hoặc $\left\{\begin{matrix}x>1 & \\ (2m-3)x+m+(1-m)x-3=0& \end{matrix}\right.$ .

<=> Hoặc x = 1 hoặc $\left\{\begin{matrix}x>1 & \\ (m-2)x=3-m (2)& \end{matrix}\right.$ .

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt => (2) có đúng 1 nghiệm > 1.

<=> $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 & \\ x=\frac{3-m}{m-2}>1& \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 & \\ x=\frac{5-2m}{m-2}>0& \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 & \\ 2<m<\frac{5}{2}& \end{matrix}\right.$

Vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài ta có $2<m<\frac{5}{2}$ .

II. Bài tập áp dụng

Lưu ý : Các bạn áp dụng kiến thức đã học cùng việc tham khảo bài tập minh họa để tự giải quyết các bài tập sau:

Bài 1:

Cho phương trình : (3m - 2)x - m = 4mx + 2m - 5

Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên.

Bài 2:

Cho phương trình : (2m - 1) + (3 - n)(x - 2) - 2m + n + 2 = 0.

Tìm m , n để phương trình có nghiệm đúng $\forall x$ .

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai

I . Phương pháp giải

Phương trình bậc hai có dạng : $ax^{2}+bx+c=0 (a\neq 0)$ (1)

Xét a = 0 => (1) <=> bx + c = 0 . Biện luận phương trình bậc nhất.

Xét $a\neq 0$ Ta tính $\Delta$ hoặc $\Delta{}'$.

Nếu $\Delta$ > 0 => (1) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a},x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$
Nếu $\Delta$ = 0 => (1) có nghiệm kép : $x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}$.
Nếu $\Delta$ < 0 => (1) vô nghiệm.

Chú ý : Nếu tính theo $\Delta{}'$ thì công thức lấy nghiệm cũng tương tự.

Kết luận.

Bài tập minh họa :

Bài 1:

Giải và biện luận phương trình : $(m-1)x^{2}+(2m-3)x+m+1=0$ ( theo tham số m ). (1)

Hướng dẫn:

Với m - 1 = 0 <=> m = 1 => (1) <=> - x + 2 = 0 <=> x = 2.

Với $m-1\neq 0 <=> m\neq 1$ Ta có:

$\Delta =(2m-3)^{2}-4(m-1)(m+1)=13-12m$

Nếu $\Delta$ > 0 => $m

<=> (1) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1,2}=\frac{3-2m\pm \sqrt{13-12m}}{2(m-1)}$

Nếu $\Delta$ > 0 => $m=\frac{13}{12}$

<=> (1) có nghiệm kép : $x_{1}=x_{2}=-\frac{2m-3}{2(m-1)}=5$

Nếu $\Delta$ < 0 =>$m>\frac{13}{12}$ => (1) vô nghiệm.

Vậy m = 1 => (1) có nghiệm x = 2.

$m=\frac{13}{12}$ => (1) có nghiệm x = 5.

$m>\frac{13}{12}$ => (1) vô nghiệm.

$m<\frac{13}{12}$ => (1) có 2 nghiệm phan biệt : $x_{1,2}=\frac{3-2m\pm \sqrt{13-12m}}{2(m-1)}$ .

Bài 2:

Giải và biện luận phương trình : $\frac{x^{2}-2(a+1)x+2a+5}{x^{2}-3x+2}=0$ ( tham số a) (1)

Hướng dẫn:

Đk : $x^{2}-3x+2\neq 0$ <=> $\left\{\begin{matrix}x\neq 2 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.$

(1) <=> $f(x)=x^{2}-2(a+1)x+2a+5=0$ (2)

Ta có : $\Delta {}'=(a+1)^{2}-(2a+5)=a^{2}-4$

Nếu $\Delta {}'<0$ <=> - 2 < a < 2 <=> (2) vô nghiệm => (1) vô nghiệm .

Nếu $\Delta {}'=0$ <=> Hoặc a = 2 hoặc a = - 2 <=> (2) có nghiệm kép : x = a + 1.

Với a = 2 => x = 3. (nhận)

Với a = -2 => x = - 1 (nhận)

Nếu $\Delta {}'>0$ <=> | a | =2.

Vì (2) phải có 2 nghiệm thỏa mãn đk : $\left\{\begin{matrix}x\neq 2 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.$ nên :

<=> $\left\{\begin{matrix}f(1)\neq 0 & \\ f(2) \neq 0& \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}4\neq 0 & \\ -2a+5 \neq 0& \end{matrix}\right.$

<=> $a\neq \frac{5}{2}$ .

=> 2 nghiệm là : $x_{1,2}=a+1\pm \sqrt{a^{2}-4}$

Kết luận :

Nếu | a | < 2 hoặc $a=\frac{5}{2}$ => (1) vô nghiệm.

Nếu $a=2\vee a=-2$ => (1) có nghiệm kép : $x=-1\vee x=3$

Nếu $|a| >2 \wedge a\neq \frac{5}{2}$ => (1) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1,2}=a+1\pm \sqrt{a^{2}-4}$

II. Bài tập áp dụng

Lưu ý : Các bạn áp dụng kiến thức đã học cùng việc tham khảo bài tập minh họa để tự giải quyết các bài tập sau:

Bài 1 :

Giải và biện luận phương trình sau theo a , b :

$x+\frac{1}{x}=\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}$ (1)

Bài 2:

Giải và biện luận phương trình :

$f(x)=mx^{2}+2(2m-1)x+m=0$ với $-1\leq x\leq 1$ (1)

- - - - - Chúc các bạn làm bài tốt ! - - - - -

21 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Ôn toán 9 lên 10