Giải câu 4 đề 11 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D.

1. Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp.

2. Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

3. BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng

Bài làm:

Hình vẽ:

1. Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp.

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC) ⇒ˆ$\widehat{BDC}={90}^0$.(Do B, M, D thẳng hàng)

Có (do giả thiết tam giác ABC vuông tại A)

Xét tứ giác BADC có ⇒ Hai điểm A và D cùng nhìn BC dưới góc 90⁰ ⇒⇒ Tứ giác BADC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

2. Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

Do BADC là tứ giác nội tiếp (cmt) ⇒=$\widehat{ACB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Lại có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN của đường tròn đường kính MC).

⇒⇒BD là tia phân giác của góc ADN.

3. BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Ta có (cmt)⇒BD⊥DC⇒BD⊥PC

Tam giác ABC vuông tại A ⇒AC⊥AB⇒AC⊥PB

Xét tam giác PBC có BD⊥PC;AC⊥PB;AC∩BD=M⇒M là trực tâm tam giác PBC.

⇒PM⊥BC

Lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC) ⇒MN⊥NC⇒MN⊥BC

Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng BC ta kẻ được PM⊥BC và MN⊥BC

⇒PM≡MN hay ba điểm P, M, N thẳng hàng.