Lời giải bài 4 chuyên đề Phương pháp đại số trong bài toán diện tích đa giác

Bài 4: Một tam giác có độ dài các đường cao là các số nguyên và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Chứng minh tam giác đó đều.

Bài làm:

Đặt a = BC, b = AC, c = AB.

Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao tương ứng với 3 cạnh a, b, c của tam giác.

Vì bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 => x, y, z > 2 .

Giả sử :

Theo kết quả bài 3( ở trên ):

=> .

Từ :

<=> 3( x + y ) = 2xy .

=> (2x - 3 )(2y - 3 ) = 9 = 3.3 = 9.1

=> Hoặc x = 3 , y = 3 hoặc x = 6 , y = 2

Mà ta có

=> x = 6 , y= 2 (loại).

=> x = y = z = 3 <=> a = b = c.

Vậy tam giác đó là tam giác đều ( đpcm ).