Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 4 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Bài làm:

Đề bài :

Cho a , b ,c là 3 số thực dương thỏa mãn $a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$ . Chứng minh rằng : $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Với a , b ,c là 3 số thực dương , ta có :

+ $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{9}{a+2b}$ (1)

<=> $(a+2b)(b+2a)\geq 9ab$

<=> $2a^{2}-4ab+2a^{2}\geq 0<=>2(a-b)^{2\geq 0}$ ( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a = b .

+ $a+2b\leq \sqrt{3(a^{2}+2a^{2})}$ (2)

<=> $(a+2b)^{2}\leq 3(a^{2}+2b^{2})$

<=> $2a^{2}-4ab+2a^{2}\geq 0<=> 2(a-b)^{2}\geq 0$ ( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a = b .

Từ (1) , (2) => $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{9}{a+2b}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a^{2}+2b^{2})}}\geq \frac{3}{c}$

=> $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$ và Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c . ( đpcm )

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác