Đáp án câu 5 đề 6 kiểm tra học kì 2 Toán 9

Câu 5(1 điểm): Cho 3 số x, y, z không âm và $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 3y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P = $\frac{1}{(x + 1)^{2}} + \frac{4}{(y + 2)^{2}} + \frac{8}{(z + 3)^{2}}$

Bài làm:

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

$(x^{2} + 1) + (y^{2} + 4) + (z^{2} + 1) \geq 2x + 4y + 2z$

$\Rightarrow 3y + 6 \geq 2x + 4y + 2z$ (vì $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 3y$)

$\Rightarrow 6 \geq 2x + y + 2z$

Xét a, b dương ta có:

$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{ab} \geq \frac{2}{\frac{(a + b)^{2}}{4}} = \frac{8}{(a + b)^{2}}$ (*)

Áp dụng (*) ta có:

P = $\frac{1}{(x + 1)^{2}} + \frac{4}{(y + 2)^{2}} + \frac{8}{(z + 3)^{2}}$

= $\frac{1}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{(\frac{y}{2} + 1)^{2}} + \frac{8}{(z + 3)^{2}}$

$\geq \frac{8}{(x + 1 + \frac{y}{2} + 1)^{2}} + \frac{8}{(z + 3)^{2}}$

$\geq \frac{8.8}{(x + \frac{y}{2} + z + 5)^{2}}$

$\geq \frac{64}{(3 + 5)^{2}} = 1$

Dấu "=" xảy ra khi x = 1; y = 2; z = 1

Vậy Min P = 1 khi x = 1; y = 2; z = 1

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác