Lời giải bài 1 chuyên đề Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị

Bài 1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$ .

Tìm GTNN của biểu thức : $A=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ .

Bài làm:

Do x > 0 , y > 0 => $\frac{1}{x}> 0,\frac{1}{y}> 0$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương $\frac{1}{x},\frac{1}{y}$ ta có :

$\frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq \sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}$

<=> $\frac{1}{4}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}=> \sqrt{xy}\geq 4$

Mặt khác ta có : x > 0 , y > 0 => $\sqrt{x}\geq 0,\sqrt{y}\geq 0$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô si , ta có :

$\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 2\sqrt{\sqrt{xy}}\geq 2\sqrt{4=4}$

Vậy Min A = 4 <=> $\left\{\begin{matrix}x=y & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$

<=> $x=y=4$ .

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác