Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Bài làm:

Đề bài :

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ với 0< x

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có : $y=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$

= $y=\frac{2}{1-x}-2+\frac{1}{x}-1+3$

= $y=\frac{2}{1-x}+\frac{x-1}{x}+3$

Vì 0< x<1 => $\frac{2}{1-x}>0;\frac{x-1}{x}>0$

Áp dụng BĐT Cô-si , ta có : $\frac{2}{1-x}+\frac{x-1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{2}{1-x}.\frac{x-1}{x}}=2\sqrt{2}$

Dấu " = " xảy ra <=> $\frac{2}{1-x}=\frac{x-1}{x}$

<=> $x^{2}+2x-1=0<=> x_{1}=-1+\sqrt{2};x_{2}=-1-\sqrt{2}$

+ Với $x_{1}=-1+\sqrt{2}$ => ( t/mãn vì 0< x

+ Với $x_{2}=-1-\sqrt{2}$ => ( loại vì x < 0 ) .

=> $y\geq 2\sqrt{2}+3$

Dấu " = " xảy ra <=> $x_{1}=-1+\sqrt{2}$

Vậy $y_{min}=2\sqrt{2}+3$ khi $x_{1} = - 1 + \sqrt{2}$ .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác