Giải câu 2 trang 113 toán VNEN 8 tập 1

Câu 2: Trang 113 toán VNEN 8 tập 1

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

a) Gọi E, F, G, H tương ứng là trung điểm các cạnh AB,BC, CD, DA. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

b) Gọi I, J, K, L tương ứng là trung điểm các cạnh EF, FG, GH, HE nói ở câu a). Chứng minh rằng IJKL là hình thoi.

c) Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm các cạnh IJ, JK, KL, LI nói ở câu b). Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

d) Khi AC vuông góc với BD và AC = BD thì các tứ giác EFGH, IJKL, MNPQ là hình gì? Vì sao?

Bài làm:

a) E là trung điểm AB (gt) và H là trung điểm AD (gt) EH là đường trung bình của tam giác ABD

EH // BD, EH = $\frac{BD}{2}$ (1)

Chứng minh tương tự, ta có: FG là đường trung bình của tam giác BDC

FG // BD, FG = $\frac{BD}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) HE // FG, HE = FG

EFGH là hình bình hành.

Lại có: H là trung điểm AD (gt); G là trung điểm DC (gt) HG là đường trung bình của tam giác ADC

HG // AC.

Mà AC vuông góc với BD (gt) HG vuông góc với BD.

Lại có: BD // HE (cmt) HG vuông góc với HE.

Hình bình hành EFGH có =90${}^0$ (cmt)

EFGH là hình chữ nhật.

b) Nối E với G, F với H.

Ta có: L là trung điểm EH (gt); I là trung điểm EF (gt) IL là đường trung bình của tam giác EFH

IL // HF, IM = $\frac{HF}{2}$ (3)

Chứng minh tương tự, ta được: JK là đường trung bình của tam giác HGF

JK // HF , JK = $\frac{HF}{2}$ (4)

Từ (3) và (4) IL // JK, IL = JK ILKJ là hình bình hành.

Lại có: EFGH là hình chữ nhật HG = EF.

Và: K là trung điểm HG (gt); I là trung điểm EF (gt) HK = EI

Xét tam giác LHK vuông tại H và tam giác LEI vuông tại E, có:

LH = LE (L là trung điểm HE )

HK = EI (cmt)

$\mathrm{\Delta }$LHK = $\mathrm{\Delta }$LEI KL = LI.

Xét ILKJ là hình bình hành có: KL = LI (cmt) ILKJ là hình thoi.

c) Q là trung điểm IL (gt) và M là trung điểm IJ (gt) QM là đường trung bình của tam giác ILJ

QM // LJ, QM = $\frac{LJ}{2}$ (5)

Chứng minh tương tự, ta có: PN là đường trung bình của tam giác LJK

PN // LJ, PN = $\frac{LJ}{2}$ (6)

Từ (5) và (6) QM = PN, QM // PN.

MNPQ là hình bình hành.

Lại có: Q là trung điểm LI (gt); P là trung điểm LK (gt) QP là đường trung bình của tam giác LIK

QP // IK.

Mà IK vuông góc với LJ (tính chất hình thoi) QP vuông góc với LJ.

Lại có: LJ // PN (cmt) QP vuông góc PN.

Hình bình hành MNPQ có =90${}^0$ (cmt)

MNPQ là hình chữ nhật.

d) Khi AC vuông góc với BD và AC = BD thì các tứ giác EFGH, IJKL, MNPQ là các hình vuông.