Giải câu 2 trang 65 toán VNEN 8 tập 1

Câu 2: Trang 65 toán VNEN 8 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là giao điểm của AM và DE.

a) Chứng minh ADM = MEA.

b) Chứng minh O là trung điểm của AM và DE.

c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất?

Bài làm:

a) Vì MD AB và AC AB (gt) nên MD // AC

$\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAE}$ (so le trong)

Xét ADM và MEA, có:

• = $\widehat{MAE}$ (cmt)
• AM chung
• = $\widehat{MEA}$ (= 90${}^0$)

$\mathrm{\Delta }$AMD = $\mathrm{\Delta }$MEA (g.c.g)

b) Vì AMD = MEA (cmt) $\Rightarrow$ DM = AE

Vì MD // AC (cmt) $\widehat{EDM}$ = $\widehat{DEA}$ (so le trong)

Xét DMO và EAO, có:

• = $\widehat{MAE}$ (cmt)
• DM = EA (cmt)
• = $\widehat{OEA}$ (cmt)

$\mathrm{\Delta }$DMO = $\mathrm{\Delta }$EAO (g.c.g)

OM = OA O là trung điểm AM

OD = OE O là trung điểm DE

c) Kẻ AH vuông góc với BC

Trường hợp M trùng H AM = AH (1)

Trường hợp M không trùng H

Xét tam giác AHM vuông tại H (AH vuông góc với BC)

AM > AH (cạnh huyền - cạnh góc vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM AH

Như vậy AM có độ dài nhỏ nhất khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.