Lời giải Bài 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Bài làm:

Đề bài :

Cho biểu thức $A=\frac{a^{2}+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1$ , với a > 0.

a. Rút gọn A.

b. Tìm giá trị của a để A = 2.

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của A .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. $A=\frac{a^{2}+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1$ , với a > 0.

+ Với a > 0 => $\sqrt{a}$ có nghĩa .

Khi đó : $a-\sqrt{a}+1=(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0$ với a > 0.

=> A có nghĩa với a > 0.

=> $A=\frac{\sqrt{a}\left [ (\sqrt{a})^{3} +1\right ]}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}(2\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}}+1$

<=> $A=a-\sqrt{a}$ .

b. Để A = 2 <=> $A=a-\sqrt{a}$ = 2 <=> $a-\sqrt{a}-2=0$ (*)

Đặt $\sqrt{a}=t(t>0)$

(*) <=> $t^{2}-t-2=0$

Ta có : $\Delta =(-1)^{2}-4.1.(-2))=9>0=> \sqrt{\Delta }=3$

=> $t_{1}=-1;t_{2}=2$

+ Với $t_{1}=-1$ => ( loại vì t < 0 ) .

+ Với $t_{2}=2<=> \sqrt{a}=2=> a=4$ ( t/mãn ) .

Vậy a = 4 thỏa mãn yêu cầu bài ra .

c. Ta có : $A=a-\sqrt{a}=a-2\sqrt{a}\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}-(\frac{1}{2})^{2}$ .

<=> $(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4\geq -\frac{1}{4}}, \forall a>0$

Dấu " = " xảy ra <=> $\sqrt{a}-\frac{1}{2}=0<=> a=\frac{1}{4}$ ( t/mãn đk a> 0 ) .

Vậy $A_{min}=\frac{-1}{4}$ khi $a=\frac{1}{4}$ .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác