Lời giải dạng 3 chuyên đề SỐ PHỨC môn toán ôn thi THPT quốc gia

1 Đánh giá

DẠNG 3:

Câu 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau

$z=-21+20i$
$z=1+4 \sqrt{3}i$

Câu 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức

$z^{2}-4z+20=0$
$4z^{4}-3z^{2}-1=0$
$(\frac{iz+3}{z-2i})^{2}-3.\frac{iz+3}{z-2i}-4=0$

Câu 3: Gọi $z_{1}, z_{2}$ là nghiệm của phương trình $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ . Tính giá trị của các biểu thức sau

$A=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}$

$B=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-a|\overline{z_{1}}||\overline{z_{2}}|$

Bài làm:

Giải câu 1:

Gọi $w=x+yi(x,y \in \mathbb{R})$ là căn bậc hai của số phức $z$ .

1. $z=-21+20i=(x+yi)^{2}=(x^{2}-y^{2})+2xyi$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-21\\ 2xy=20\\ \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{100}{y^{2}}-y^{2}=-21\\ x=\frac{10}{y}\\ \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 100-y^{4}+21y^{2}=0\\ x=\frac{10}{y} \end{matrix}\right.$

Với $100-y^{4}+21y^{2}=0$ thì $y^{2} = 25$ hoặc $y^{2} = - 4$ (không thỏa mãn). Do đó $y = \pm 5$

Nếu $y=5$ thì $x = 2$ ta có $w = 2 + 5 i$
Nếu $y=-5$ thì $x = - 2$ ta có $w = - 2 - 5 i$

Vậy căn bậc hai của $z$ là $2 + 5 i$ hoặc $- 2 - 5 i$ .

2. Làm tương tự

ĐS: $w=\sqrt{3}+2i$ và $w = - \sqrt{3} - 2 i$

Giải câu2:

1. $z^{2}-4z+20=0$

$\Delta'=-16=16i^{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{z=2+4i \hfill \cr z=2-4i\hfill \cr} \right.$

Chú ý: Sử dụng máy tính nhấn MODE 5.

2. $4z^{4}-3z^{2}-1=0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{z^{2}=1 \hfill \cr z^{2}=-\frac{1}{4}\hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} z = 1 \\ z = - 1 \\ z = \frac{1}{2} i \\ z = - \frac{1}{2} i \end{matrix}$

Vậy phương trình có 4 nghiệm là $z=1, z=-1, z=\frac{1}{2}i , z=-\frac{1}{2}i$ .

3.Đặt $t=\frac{iz+3}{z-2i}$ . Ta có

$t^{2}-3t-4=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{t=-1 \hfill \cr t=4\hfill \cr} \right.$

Với $t=-1$ thì $\frac{i z + 3}{z - 2 i} = - 1 \Leftrightarrow i z + 3 = - z + 2 i \Leftrightarrow z (i + 1) = 2 i - 3 \Leftrightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$
Với $t=4$ thì $\frac{i z + 3}{z - 2 i} = 4 \Leftrightarrow i z + 3 = 4 z - 8 i \Leftrightarrow z (i - 4) = - 8 i - 3 \Leftrightarrow z = \frac{4}{17} + \frac{35}{17} i$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $z=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$ và $z=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$ .

Giải câu 3:

Vì $z_{1}$ và $z_{2}$ là nghiệm của phương trình $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ nên $z_{1} = - 1 + 2 i$ và $z_{2} = - 1 - 2 i$

$A=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=|-1+2i|^{2}+|-1-2i|^{2}=10$

$B=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-a|\overline{z_{1}}||\overline{z_{2}}|=10-5a$

1 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Một số chuyên đề ôn tập môn Toán 12